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方程φ_3(n)=n/d的可解性

王容  罗文力  廖群英  
【摘要】:为将Lehmer同余式从模素数的平方推广到模任整数的平方,蔡天新等人在2007年定义了广义欧拉函数.本文利用已有的广义欧拉函数的准确计算公式φ_3(n),研究了方程φ_3(n)=n/d的正整数解,并利用初等的方法和技巧给出正整数n=p~β,3p~β,p_1~(α1)p_2~(α2),3p_1~(α1)p_2~(α2)时,方程φ_3(n)=n/d的全部正整数解,其中β≥1且素数p≡2(mod 3),αi≥1且素数pi≡2(mod 3)(i=1,2).给出正整数n=3α∏ki=1pαii3,方程φ_3(n)=n/d有解的必要条件,其中α=0且存在某个i=1,…,k,使得pi≡1(mod 3)以及正整数n=3α∏ki=1pαii3,其中k2,α∈{0,1},αi≥1且素数pi≡2(mod 3)(i=1,…,k),方程φ_3(n)=n/d有解的必要条件.

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