几道平面几何赛题的关联--《中学教研(数学)》2006年12期

《中学教研(数学)》2006年12期

几道平面几何赛题的关联

【作者单位】：湖南师范大学数学与计算机科学学院 410081
【分类号】：G634.63
【DOI】：cnki:ISSN:1003-6407.0.2006-12-013
【正文快照】：
　　例1设△ABC的内心为I,三角形内一点P满足∠PBA+∠PCA=∠PBC+∠PCB.求证:AP≥AI,而且等号当且仅当P=I时成立.(第47届国际数学奥林匹克第1题)图1证明如图1,作△ABC的外接圆,延长AI交外接圆于点D,连接DB,DP,DC,IB,IC.I为△ABC的内心,可证得DB=DP=DC,且易知∠IBC+∠ICB=21(∠ABC+∠ACB).因∠PBA+∠PCA=∠PBC+∠PCB=21(∠ABC+∠ACB),故∠BIC=∠BPC,B,I,P,C四点共圆,圆心为D,因此,DP=DI.于是AP+PD≥AD=AI+ID,DP=DI,故AP≥AI,等号当且仅当P=I时成立.在上面的证明中,用到了一个与三角形内心有关的重…

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